Question

已知直線l經(jīng)過P（3，2），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）當(dāng)△OAB的面積為16時，求直線l的方程
（Ⅱ）當(dāng)△OAB面積取最小值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線的截距式方程，由三角形面積公式和直線經(jīng)過P（3，2），聯(lián)解得到直線在x、y軸上的截距，再將得到的方程化簡，即可得到滿足條件的直線l的方程；
（2）設(shè)出直線的點斜式方程，將△OAB面積表示成關(guān)于斜率k的式子，再利用基本不等式求最值，即得△OAB面積取最小值時斜率的值，從而得出滿足條件的直線l的方程．

解答：解：（I）設(shè)直線方程

x

a

+

y

b

=1，（a＞b＞0）
∵△OAB的面積為16時，∴

1

2

ab=16，可得ab=32．
∵P（3，2）在直線l上，可得

3

a

+

2

b

=1
∴兩式聯(lián)解得a=4、b=8或a=12、b=

8

3

由此可得直線方程為

x

4

+

y

8

=1或

x

12

+

y

8 3

=1
化簡得2x+y-8=0或2x+9y-24=0；
（II）設(shè)直線方程為  y-2=k（x-3），k＜0，可得A （3-

2

k

，0 ）、B （0，2-3k），
S_△OAB=

1

2

 （3-

2

k

 ）（ 2-3k）=

1

2

[12+（-9k）+

4

-k

]≥12，
當(dāng)且僅當(dāng) （-9k）=

4

-k

 時，即  k=-

2

3

 時，等號成立，
此時，直線方程為  y-2=-

2

3

（x-3），即2x+3y-12=0．

點評：本題給出經(jīng)過定點的直線，求滿足特殊條件的直線方程，著重考查了直線的基本量與基本形式和利用基本不等式求最值等知識，屬于基礎(chǔ)題．