Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，求f（2）的值．

Answer 1

分析：先對函數進行求導，在x=1處有極值10，可得到兩個關系式

f′(1)=0 f(1)=10

，求出a，b，一定要注意f′（x）=0的x的左、右附近導函數的符號的改變，進行驗證．

解答：解：由題意，f′（x）=3x²+2ax+b，則

f′(1)=0 f(1)=10

，
即

3+2a+b=0 1+a+b+a2=10

，∴

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
此時當

a=4 b=-11

時，f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），
當x＜1時，f′（x）＜0，x＞1時，f′（x）＞0，∴在x=1處有極值，
∴f（2）=18．
當

a=-3 b=3

時，f′（x）=3（x-1）²，顯然在x=1處無極值，
綜上，f（2）=18．

點評：極值點處導函數與x軸相交，要注意驗證導數為0處左右的函數的單調性．f′（x）=0是函數取得極值的必要不充分條件．因此，涉及到極值問題的研究一定要注意f′（x）=0的x的左、右附近導函數的符號的改變．