Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），且點P（

6

2

，

1

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于M，N兩點，直線OM、ON的斜率存在且和為4k，求證：m²為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件求出c=1，點P(

6

2

，

1

2

)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出b=1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（II）由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韋達定理結(jié)合直線OM、ON的斜率存在且和為4k，得到kOM+kON=2k-

4km2

2m2-2

=4k．由此能求出m2=

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C₁的左焦點為F₁（-1，0），∴c=1，…（1分）
點P(

6

2

，

1

2

)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得4b⁴-3b²-1=0，即b=1，…（3分）
∴a²=b²+c²=2，…（4分）
∴橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1．                         …（5分）
（II）證明：由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．．…（7分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

．…（8分）
∵直線OM、ON的斜率存在且和為4k，
∴k_OM+k_ON=

y1

x1

+

y2

x2

=k+

m

x1

+k+

m

x2

=2k+

m(x1+x2)

x1x2

=2k+

- 4km2 1+2k2

2m2-2 1+2k2

=4k．…（10分）
整理得kOM+kON=2k-

4km2

2m2-2

=4k．…（11分）
解得m2=

1

2

，為定值．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．