Question

以橢圓+y²=1(a＞1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)B(0,1)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形,問這樣的直角三角形是否存在?如果存在,請說明理由,并判斷最多能作出幾個(gè)這樣的三角形;如果不存在,請說明理由.

Answer 1

解:由題意可知直角邊BA、BC不可能垂直或平行于x軸.

故可設(shè)BC邊所在直線方程為y=kx+1(不妨設(shè)k＜0),則BA邊所在直線方程為y=-x+1.

由消去y,得

(1+a²k²)x²+2a²kx=0.

解之,得x₁=0,x₂=-.

∴|BC|=|x₁-x₂|=.

用-代替上式中的k得|AB|=.

由|BC|=|BA|,得|k|(a²+k²)=1+a²k².

注意到k＜0,得(k+1)［k²+(a²-1)k+1］=0.                                          ①

當(dāng)Δ=(a²-1)²-4＜0,即1＜a＜時(shí),①有唯一解k=-1;

當(dāng)a=時(shí),①化為(k+1)³=0有唯一解k=-1;

當(dāng)a＞3時(shí),①有三個(gè)不同的解.

綜上所述:

當(dāng)1＜a≤時(shí),只能作出一個(gè)三角形;

當(dāng)a＞時(shí),能作出三個(gè)三角形.