Question

17．若直線l過拋物線x²=-8y的焦點F，且與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$在一、三象限的漸近線平行，則直線l截圓${（{x-4\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=4$所得的弦長為2．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點和雙曲線的漸近線方程，求得直線l的方程，求出圓心到直線的距離，運用弦長公式即可得到弦長．

解答 解：拋物線x²=-8y的焦點F為（0，-2），
雙曲線雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$在一三象限的漸近線為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
則直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
圓（x-4$\sqrt{3}$）²+y²=4的圓心為（4$\sqrt{3}$，0），半徑為2，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}×4\sqrt{3}-2|}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=$\sqrt{3}$，
則弦長為2$\sqrt{4-3}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，雙曲線的性質：漸近線，考查直線與圓的位置關系，以及點到直線的距離，弦長公式等，屬于中檔題．