Question

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,且.對(duì)一切實(shí)數(shù),不等式恒成立(≠0).

(1) 求的值；

(2) 求函數(shù)的表達(dá)式；

(3) 求證:＞．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 要證原不等式，即證因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312383769229736/SYS201307231239255036794555_DA.files/image005.png">

所以

=所以

【解析】

試題分析：（1）由，所以     2分

（2），由，得    3分

                4分

又恒成立，則由恒成立得

，                6分

同理由恒成立也可得:       7分

綜上，，所以       8分

（3）

要證原不等式，即證

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312383769229736/SYS201307231239255036794555_DA.files/image024.png">

所以

=

所以                12分

本小問也可用數(shù)學(xué)歸納法求證。證明如下：

由

當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=，左邊>右邊，所以，不等式成立

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即

當(dāng)時(shí)，

左邊=

由

所以

即當(dāng)時(shí)，不等式也成立。綜上得

考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)解析式及不等式證明

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)求解析式采用的是待定系數(shù)法，由已知條件找到的關(guān)系式，期間將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)的考察，第三問在證明不等式時(shí)用到了放縮法，這種方法對(duì)學(xué)生有一定的難度