Question

15．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₁的極坐標方程為ρ（cosθ+2sinθ）+2=0，曲線C₂的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
（1）判斷A、B兩點與曲線C₁的位置關系；
（2）點M是曲線C₁上異于A、B兩點的動點，求△MAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）參數(shù)方程化為普通方程，極坐標方程化為直角坐標方程，求出A，B的坐標，即可得出結(jié)論；
（2）利用橢圓的參數(shù)方程，設出M的坐標，求出M到直線x+2y+2=0的距離，表示出面積，即可求△MAB的面積的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
曲線C₂的極坐標方程為ρ（cosθ+2sinθ）+2=0，直角坐標方程為x+2y+2=0，
可得A（-2，0），B（0，-1），在$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1上；
（2）設M（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π]，M到直線x+2y+2=0的距離d=$\frac{|2cosθ+2sinθ+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+2|}{\sqrt{5}}$，
∵|AB|=$\sqrt{5}$，∴△MAB的面積S=|$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+1|的最大值為$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查三種方程的互化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．