Question

（2012•蚌埠模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)（e，f（e））（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（2）k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，等價(jià)于k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立，求出右邊的最小值，即可求得k的最大值．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx
∴k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，等價(jià)于k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)增加，
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實(shí)數(shù)根x₀，滿足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（x₀）=

x0+x0lnx0

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0∈（3，4），
∴k＜g（x）_min=x₀∈（3，4），
∴整數(shù)k的最大值為3．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．