Question

已知M（2，0），N（-2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|-|PM|=2，點(diǎn)P的軌跡為W，過點(diǎn)M的直線與軌跡W交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）若，求直線AB斜率k的值，并判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用雙曲線的定義求軌跡方程．
（2）點(diǎn)斜式設(shè)出直線AB的方程，代入雙曲線方程，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系求k的值，利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出AB的長，計(jì)算圓心到直線直線的距離，將此距離與圓的半徑比較，得出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且．
∴軌跡W的方程為．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）．
由得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．（5分）
設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
則，①
，②
△=16k⁴+4（3-k²）（4k²+3）＞0．③（8分）
由①②③解得k²＞3．（9分）
∵，
∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂），
∴x₂=6-2x₁．代入①②，得，．
消掉x₁得．（11分）
∵M(jìn)（2，0）為雙曲線右支的焦點(diǎn)，離心率e=2．由雙曲線的幾何性質(zhì)，
得．
設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為Q，Q到直線l的距離為d，
則d=．
∴．
∴，直線l與圓Q相交．（14分）
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．