素材2:線段AB的垂直平分線l交x軸于N點(diǎn).
試根據(jù)上述素材構(gòu)建一個問題,然后再解答.
構(gòu)建問題:拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,AB是過焦點(diǎn)F,且不垂直于x軸的一條弦,線段AB的垂直平分線l交x軸于點(diǎn)N,試證明|AB|=2|FN|.
證明:設(shè)點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn),分別過A、B、M作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為C、D、E.
∵AB為焦點(diǎn)弦,據(jù)拋物線定義及梯形的中位線性質(zhì),有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|ME|.
要證|AB|=2|FN|,只要證|ME|=|FN|.
又EM∥FN,
∴只要證EF∥MN,即可得四邊形EFNM為平行四邊形,從而有|EM|=|FN|.∵M(jìn)N⊥AB,下證EF⊥AB.
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0),則y1+y2=2y0.
∵y12=2px1,y22=2px2,兩式相減,得y12-y22=2p(x1-x2),∴,即kAB=.
又點(diǎn)E(-,y0)、F(,0),∴kEF=.
∴kAB·kEF==-1.
∴AB⊥EF成立.
綜上分析,|AB|=2|FN|.
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