Question

（2012•黔東南州一模）已知函數(shù)f(x)=

x

lnx

+

alnx

x

(x＞1)的圖象經(jīng)過(e2，

e2

2

+

2

e2

)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71）．
（Ⅰ）求實數(shù)a；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對于任意的n∈N*，都有(e+

1

e

)(

e2

2

+

2

e2

)×…×(

en

n

+

n

en

)≥(e+

1

e

)n成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)y=f（x）的圖象過點(e2，

e2

2

+

2

e2

)，建立方程，即可求得實數(shù)a；
（Ⅱ）求導數(shù)，求得f′（x）=0時，x=e，從而由導數(shù)的正負，可得f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值為f(e)=e+

1

e

，從而可得當x＞1時，f(x)≥e+

1

e

恒成立，當n∈N^*時，令x=eⁿ≥e＞1，則有f(en)≥e+

1

e

，由此可證結論．

解答：（Ⅰ）解：由y=f（x）的圖象過點(e2，

e2

2

+

2

e2

)得

e2

2

+

2

e2

=

e2

lne2

+

alne2

e2

，所以a=1．         …（2分）
（Ⅱ）解：求導數(shù)可得：f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

+

1-lnx

x2

=

(lnx-1)(x+lnx)(x-lnx)

x2(lnx)2

…（4分）
由x＞1知

x+lnx

x2(lnx)2

＞0，
令g（x）=x-lnx，則g′(x)=

x-1

x

＞0，故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，當x＞1時，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（1，e）．                             …（7分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值為f(e)=e+

1

e

…（8分）
即當x＞1時，f(x)≥e+

1

e

恒成立
當n∈N^*時，令x=eⁿ≥e＞1，則有f(en)≥e+

1

e

，即

en

n

+

n

en

≥e+

1

e

＞0…（10分）
故(e+

1

e

)(

e2

2

+

2

e2

)×…×(

en

n

+

n

en

)≥(e+

1

e

)n成立．                       …（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，求得函數(shù)的單調性，確定最值是關鍵．