Question

某次體育比賽團體決賽實行五場三勝制，且任何一方獲勝三場比賽即結束．甲、乙兩個代表隊最終進人決賽，根據雙方排定的出場順序及以往戰(zhàn)績統(tǒng)計分析，甲隊依次派出的五位選手分別戰(zhàn)勝對手的概率如表：

出場順序	1號	2號	3號	4號	5號
獲勝概率	1 2	p	q	1 2	2 5

若甲隊3：0獲勝的率是

1

8

，比賽至少打滿4場的概率為

3

4

•
（Ⅰ）求p、q的值；
（Ⅱ）若勝一場得2分，負一場得-l分，求甲隊總得分ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：

1 2 pq= 1 8 1- 1 8 -(1- 1 2 )(1-p)(1-q)= 3 4

，從而可求p、q的值；
（Ⅱ）ξ的取值為6，5，4，1，-1，-3，求出相應的概率，即可求甲隊總得分ξ的分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：

1 2 pq= 1 8 1- 1 8 -(1- 1 2 )(1-p)(1-q)= 3 4

，解得p=q=

1

2

；
（Ⅱ）ξ的取值為6，5，4，1，-1，-3，則
P（ξ=6）=

1

8

；P（ξ=5）=

C

1 3

•

1

2

•

1

2

•

1

2

•

1

2

=

3

16

；P（ξ=4）=

C

2 4

(1-

1

2

)2•(

1

2

)2•

2

5

=

3

20

；P（ξ=1）=

C

2 4

•(

1

2

)2•(1-

1

2

)2•(1-

2

5

)=

9

40

；
P（ξ=-1）=

C

1 3

•

1

2

•(1-

1

2

)3=

3

16

；P（ξ=-3）=(1-

1

2

)3=

1

8

，
∴ξ的分布列為

ξ	6	5	4	1	-1	-3
P	1 8	3 16	3 20	9 40	3 16	1 8

數學期望Eξ=6×

1

8

+5×

3

16

+4×

3

20

+1×

9

40

+（-1）×

3

16

+（-3）×

1

8

=

39

20

．

點評：本題考查概率的計算，考查分布列和數學期望，正確理解變量的取值的含義是關鍵．