Question

12．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2014^x+log₂₀₁₄x，則方程f（x）=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是3．

Answer 1

分析 f（x）=0實(shí)根個(gè)數(shù)即函數(shù)y=2014^x的圖象和函數(shù)y=-log₂₀₁₄x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得在（0，+∞）上，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x＜0時(shí)，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且f（0）=0，綜合可得結(jié)論．

解答 解：由題意可得，f（x）=0實(shí)根個(gè)數(shù)
即函數(shù)y=2014^x的圖象和函數(shù)y=-log₂₀₁₄x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)y=2014^x，y=-log₂₀₁₄x的圖象，
如圖所示，在（0，+∞）上，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
即方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根．
再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，
再根據(jù)奇函數(shù)的圖象的對稱性可得，
當(dāng)x＜0時(shí)，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
即方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根．
綜上，在R上，函數(shù)f（x）=0實(shí)根的個(gè)數(shù)為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查奇（偶）函數(shù)圖象的性質(zhì)應(yīng)用，即根據(jù)題意畫出一部分函數(shù)的圖象，由交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出對應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，利用圖象的對稱性和“f（0）=0”求出方程根的個(gè)數(shù)，易漏f（0）=0，屬于中檔題．