【題目】如圖，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的短軸長為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)（不過點(diǎn)），且的周長的最大值為8.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過焦點(diǎn)，在橢圓上取兩點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作橢圓的切線，當(dāng)四邊形為菱形時，證明：直線.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)短軸長求得，由周長最小值可求得，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，，，，求得過點(diǎn)的切線的方程，確定其斜率；而當(dāng)四邊形為菱形時，設(shè)直線和的方程，聯(lián)立橢圓后由韋達(dá)定理表示出.由斜率公式表示出直線的斜率，即可證明直線.

（1）由題意可得，

的周長，

當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，等號成立，

故，即，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：不妨設(shè)，，，，

根據(jù)點(diǎn)斜式，可設(shè)過Q的切線方程為，

則，化簡可得，

因為相切，所以，

化簡可得，

解得，

由題意可知，的斜率均存在，

故當(dāng)四邊形為菱形時.

設(shè)直線，

聯(lián)立化簡得.

由韋達(dá)定理有，則，

同理可得，，

直線的斜率，

代入化簡得，

所以，又因為兩直線不可能重合，

所以直線.

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