Question

【題目】如圖，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)（不過(guò)點(diǎn)），且的周長(zhǎng)的最大值為8.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)焦點(diǎn)，在橢圓上取兩點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，證明：直線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)求得，由周長(zhǎng)最小值可求得，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，，，，求得過(guò)點(diǎn)的切線的方程，確定其斜率；而當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，設(shè)直線和的方程，聯(lián)立橢圓后由韋達(dá)定理表示出.由斜率公式表示出直線的斜率，即可證明直線.

（1）由題意可得，

的周長(zhǎng)，

當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

故，即，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：不妨設(shè)，，，，

根據(jù)點(diǎn)斜式，可設(shè)過(guò)Q的切線方程為，

則，化簡(jiǎn)可得，

因?yàn)橄嗲校�所�?/span>，

化簡(jiǎn)可得，

解得，

由題意可知，的斜率均存在，

故當(dāng)四邊形為菱形時(shí).

設(shè)直線，

聯(lián)立化簡(jiǎn)得.

由韋達(dá)定理有，則，

同理可得，，

直線的斜率，

代入化簡(jiǎn)得，

所以，又因?yàn)閮芍本�不可能重合，

所以直線.