Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩實(shí)根，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n；
（3）問是否存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實(shí)根，得到：，再計(jì)算的值，從而得出數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列；
（2）由（1）得，再利用等比數(shù)列的求和公式即可求S_n；
（3）由（2）得，要使b_n＞λS_n，對(duì)?n∈N^*都成立，下面對(duì)n進(jìn)行分類討論：①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，分別求得λ的取值范圍，最后綜上所述得到，存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立，λ的取值范圍．
解答：解：（1）證明：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實(shí)根，
∴（2分）
∵．
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列．（4分）
（2）由（1）得，
即∴=．（8分）
（3）由（2）得
要使b_n＞λS_n，對(duì)?n∈N^*都成立，
即（*）（11分）
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：
即
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，
故為奇數(shù)）的最小值為1．
∴λ＜1．（13分）
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：，即
∵2ⁿ-1＞0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，
故為偶數(shù)）的最小值為．
∴．（15分）
綜上所述得，存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立，λ的取值范圍為（-∞，1）．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．