Question

已知動點P在以F₁（0，

2

2

）、F₂（0，-

2

2

）為焦點的橢圓上C，且cos∠F₁PF₂的最小值為0，直線l與y軸交于點Q（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B，且

AQ

=3

QB

（1）求橢圓C的方程；
（2）實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可知c²的值，設(shè)出橢圓的長軸長，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出cos∠F₁PF₂的最小值，由最小值等于0求出a²的值，從而求出b²的值，則橢圓的方程可求；
（2）由題意知直線l的斜率存在，且不等于0，設(shè)出直線l的方程，和橢圓聯(lián)立后保證判別式大于0，再利用

AQ

=3

QB

列式找到直線的斜率k和m的關(guān)系，代入判別式后即可求解m的取值范圍．

解答：解（1）由題意c2=

1

2

．設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞

2

2

），由余弦定理，
得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2-2|PF1||PF2|

2|PF1|•|PF2|

=

2a2-1

|PF1|•|PF2|

-1．
又|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|時，|PF₁|•|PF₂|取最大值，
此時cos∠F₁PF₂取最小值

2a2-1

a2

-1，
令

2a2-1

a2

-1=0，
解得a²=1，∵c=

2

2

，∴b2=

1

2

，
故所求P的軌跡方程為

y2

1

+

x2

1 2

=1．即y²+2x²=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m 2x2+y2=1

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
則△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，
因為

AQ

=3

QB

，所以-x₁=3x₂，所以

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，
所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，即k²（4m²-1）+（2m²-2）=0
當m2=

1

4

時，上式不成立；
當m2≠

1

4

時，k2=

2-2m2

4m2-1

＞0；
把k2=

2-2m2

4m2-1

代入△=4（k²-2m²+2）＞0，
得：4(

2-2m2

4m2-1

-2m2+2)＞0．
解得m的取值范圍為(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答（1）的關(guān)鍵是利用橢圓的定義和基本不等式得到使cos∠F₁PF₂取最小值0時的a²，（2）的求解利用了對點設(shè)而不求的方法，也是該類問題常用的方法，恰當利用直線與圓錐曲線有兩個不同的交點是解答該題的關(guān)鍵所在．此題是有一定難度題目．