【答案】
分析:(1)由題意可求得
>
,f(x+1)>2f(x)對一切x∈(3,+∞)恒成立,于是有函數(shù)f(x)=
是(3,+∞)上的周期為1的2級類增周期函數(shù);
(2)由題意可知::(x-1)a<x
2-2x-1,整理可得a<x-1-
,令x-1=t,則t∈[2,+∞),g(t)=t-
在[2,+∞)上單調(diào)遞增,即可使問題解決;
(3)(Ⅰ)由x∈[0,1)時,f(x)=2
x,可求得當(dāng)x∈[1,2)時,f(x)=mf(x-1)=m•2
x-1,…當(dāng)x∈[n,n+1)時,f(x)=m
n•2
x-n,利用f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,可得
m>0且m
n•2
n-n≥m
n-1•2
n-(n-1),從而可求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,4]時,y∈[-4,0],且有f(x+4)=mf(x),于是可求當(dāng)x∈[4n,4n+4],n∈Z時,f(x)=m
n[(x-4n)
2-4(x-4n)],對m分當(dāng)0<m≤1時,-1<m<0,m=-1,m>1與m<-1時的討論,即可得答案;
解答:解:(1)∵(x+1-1)-(x-1)
2=-(x
2-3x+1)<0,即)(x+1-1)<(x-1)
2,
∴
>
,即
>2
,
即 f(x+1)>2f(x)對一切x∈(3,+∞)恒成立,
故函數(shù)f(x)=
是(3,+∞)上的周期為1的2級類增周期函數(shù).
(2)由題意可知:解:(1)由題意可知:f(x+1)>2f(x),即-(x+1)
2+a(x+1)>2(-x
2+ax)對一切[3,+∞)恒成立,
整理得:(x-1)a<x
2-2x-1,
∵x≥3,
∴a<
=
=x-1-
,
令x-1=t,則t∈[2,+∞),g(t)=t-
在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(t)
min=g(2)=1,
∴a<1.
(3)問題(Ⅰ)∵x∈[0,1)時,f(x)=2
x,
∴當(dāng)x∈[1,2)時,f(x)=mf(x-1)=m•2
x-1,…
當(dāng)x∈[n,n+1)時,f(x)=mf(x-1)=m
2f(x-2)=…=m
nf(x-n)=m
n•2
x-n,
即x∈[n,n+1)時,f(x)=m
n•2
x-n,n∈N
*,
∵f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴m>0且m
n•2
n-n≥m
n-1•2
n-(n-1),
即m≥2.
問題(Ⅱ)∵當(dāng)x∈[0,4]時,y∈[-4,0],且有f(x+4)=mf(x),
∴當(dāng)x∈[4n,4n+4],n∈Z時,f(x)=mf(x-4)=…=m
nf(x-4n)=m
n[(x-4n)
2-4(x-4n)],
當(dāng)0<m≤1時,f(x)∈[-4,0];
當(dāng)-1<m<0時,f(x)∈[-4,-4m];
當(dāng)m=-1時,f(x)∈[-4,4];
當(dāng)m>1時,f(x)∈(-∞,0];
當(dāng)m<-1時,f(x)∈(-∞,+∞);
綜上可知:-1≤m<0或0<m≤1.
點評:本題考查周期函數(shù),著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題,綜合考察構(gòu)造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想與方法,難度大,思維深刻,屬于難題.