Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中點，過A₁，M，C三點的平面與CD所成角正弦值

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：先做B₁E⊥平面A₁MC與E，根據(jù)DC∥A₁B₁得到∠B₁A₁E為所求；然后通過體積相等求出B₁E的長，即可求出答案．
解答：解：做B₁E⊥平面A₁MC與E
設B₁E=h
∵DC∥A₁B₁，則∠B₁A₁E為所求的線面角；
設此正方體所有棱邊長為1．
如圖，因為M是棱AB的中點，
所以：CM==，同理A₁M=，
而CA₁=AB=．
∴在等腰三角形A₁MC中底邊A₁C邊上的高為．
∴=××=；
∵=
∴•h•=•BC•
∴•h•=×1××1×1?h==．
∴sin∠B₁A₁E==．
即過A₁，M，C三點的平面與CD所成角正弦值為：．
故選：D．
點評：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題的關(guān)鍵在于通過DC∥A₁B₁把問題轉(zhuǎn)化為求∠B₁A₁E．