Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意的n∈N⁺，點（n，S_n）均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記b_n=2（log₂a_n=1）（n∈N⁺），證明：對任意的，不等式成立

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…

bn+1

bn

＞

n+1

．

Answer 1

（1）因為對任意的n∈N⁺，點（n，S_n），
均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
所以得S_n=bⁿ+r，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=b+r，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1，
又因為{a_n}為等比數(shù)列，所以r=-1，公比為b，a_n=（b-1）b^n-1
（2）當(dāng)b=2時，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
則

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2n+1

2n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
當(dāng)n=1時，左邊=

3

2

，右邊=

2

，
因為

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，
即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立
則當(dāng)n=k+1時，
左邊=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

4(k+1)2+4(k+1)+1 4(k+1)

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

(k+1)+1

所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．