Question

若f（x）=λx+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，且f（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍（ ）
A．
B．t≤-1
C．t＞-1
D．t≥-2

Answer 1

【答案】分析：利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立得出λ≤-cosx再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求λ的取值范圍；先利用函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求出其最大值，再把f（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，進(jìn)而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用一次函數(shù)恒成立問題的解法即可求t出的取值范圍．
解答：解：f（x）=λx+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)
f′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立
∴λ≤-cosx．…（5分）
又∵cosx∈[cos1，1]，
∴-cosx∈[-1，-cos1]．
∴λ≤-1．…（8分）
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
∴f（x）_max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t²+λt+1．
∴恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
則
∴
而t²-t+sin1≥0恒成立，
∴t≤-1．
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題．一次函數(shù)的恒成立問題一般要考慮一次項(xiàng)系數(shù)的符號及區(qū)間端點(diǎn)值的符號，屬于難題．