Question

如圖，在正方體AC₁中，過點A作平面A₁BD的垂線，垂足為點H，則以下命題中，錯誤的命題是（ ）
A．點H是△A₁BD的垂心
B．AH的延長線經(jīng)過點C₁
C．AH垂直平面CB₁D₁
D．直線AH和BB₁所成角為45°

Answer 1

【答案】分析：因為三棱錐A-A₁BD是正三棱錐，所以H是正三角形-A₁BD的中心，故A正確；根據(jù)正三棱錐A-A₁BD和正三棱錐C₁-A₁BD的高線都經(jīng)過H點，結(jié)合垂線的唯一性可得B正確；根據(jù)平面A₁BD∥平面CB₁D₁，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到C正確；通過計算可得直線AH和BB₁所成角為arcsin，故D不正確．
解答：解：對于A，因為三棱錐A-A₁BD是正三棱錐，故頂點A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以點H是也是△A₁BD的垂心，故A正確；
對于B，因為三棱錐C₁-A₁BD是正三棱錐，而H是底面的中心，故C₁H是正三棱錐C₁-A₁BD的高線，因為經(jīng)過點H與平面A₁BD垂直的直線有且只有一條，故A、H、C₁三點共線，即AH的延長線經(jīng)過點C₁，故B正確；
對于C，因為平面A₁BD∥平面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得AH垂直平面CB₁D₁，故C正確；
對于D，可在正三棱錐A-A₁BD中，算出sin∠A₁AH=，結(jié)合AA₁∥BB₁，可得直線AH和BB₁所成角為arcsin，故D不正確．
故選D
點評：本題給出正方體模型，要我們判斷幾個命題的真假，著重考查了空間的平行與垂直的位置關系和正三棱錐的性質(zhì)等知識點，屬于基礎題．