Question

（1）已知x＞-1，n∈N^*，求證：（1+x）ⁿ≥1+nx
（2）已知m＞0，n∈N^*，e^x≥m+nx對(duì)于x∈R恒成立，求m與n滿足的條件，并求當(dāng)n=1時(shí)m的值．
（3）已知x≤n，n∈N^*．求證：n-n（1-

x

n

）ⁿ•e^x≤x²．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得出最小值為f（0）=0；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），得出切線方程，由m≤n（1-lnn），m＞0，得出n=1時(shí)，m是（0，1]上的任意一個(gè)值．
（3）由n-n(1-

x

n

)n•ex≤x2n-x2≤n(1-

x

n

)2•ex當(dāng)x∈(-∞，-

n

]∪[

n

，n]時(shí)，n-x²≤0，n(1-

x

n

)n•ex≥0不等式成立，從而問(wèn)題解決．

解答： 解  （1）設(shè)f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），
則f′（x）=n（1+x）^n-1-n，
∴f（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）上遞增，
故最小值為f（0）=0得證．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），
在M處的切線方程：y=ex0x-x0ex0+ex0
則有：n=ex0且m=-x0ex0+ex0
∴m≤n（1-lnn），m＞0，n∈N^*
故n=1時(shí)，m是（0，1]上的任意一個(gè)值．
（3）n-n(1-

x

n

)n•ex≤x2n-x2≤n(1-

x

n

)2•ex
當(dāng)x∈(-∞，-

n

]∪[

n

，n]時(shí)，
n-x²≤0，n(1-

x

n

)n•ex≥0不等式成立．
當(dāng)x∈(0，

n

)時(shí) 
 n[(1-

x

n

)•e

x

n

]n≥n[(1-

x

n

)(1+

x

n

)]nn[(1-

x

n

)•e

x

n

]n≥n(1-

x2

n2

)n≥n(1-

x2

n

)≥n-x2．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．