Question

設(shè)平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx+2

3

，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，

π

2

），證明：

a

和

b

不可能平行；
（2）若

c

=（0，1），求函數(shù)f（x）=

a

•（

b

-2

c

）的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)

a

和

b

平行，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)關(guān)系建立等式，然后找出矛盾即可；
（2）根據(jù)數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=

a

•（

b

-2

c

），整理成Asin（ωx+φ）+B形式，從而可求出最大值，并求出相應(yīng)的x值即可．

解答：解：（1）假設(shè)

a

和

b

平行，則cosxsinx-sinx（cosx+2

3

）=0
則2

3

sinx=0即sinx=0，
而x∈（0，

π

2

）時(shí)，sinx＞0，矛盾．
∴

a

和

b

不可能平行；
（2）f（x）=

a

•（

b

-2

c

）=

a

•

b

-2

a

•

c

=cos²x+2

3

cosx+sin²x-2sinx
=1-2sinx+2

3

cosx
=1-4sin（x-

π

3

）
所以f（x）_max=5，x=2kπ-

π

6

（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及平行向量與共線向量的坐標(biāo)關(guān)系，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．