Question

符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]．給出下四個命題：
①函數(shù){x}的定義域是R，值域為[0，1]
②方程{x}=

1

2

有無數(shù)個解；
③函數(shù){x}是周期函數(shù)；
④函數(shù){x}是增函數(shù)．其中正確命題的序號有：

 

．

Answer 1

分析：可求出函數(shù){x}的取值范圍，即值域，可判斷①不對；
令{x}=x-[x]=

1

2

，可求出對應(yīng)的x的值，且對應(yīng)的有無數(shù)多個，故②正確；
根據(jù)周期函數(shù)的定義，可驗證函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，從而可判③正確；
根據(jù)函數(shù){x}的性質(zhì)和單調(diào)性可知{x}在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，故④不正確．

解答：解：函數(shù){x}的定義域是R，但是0≤x-[x]＜1，故函數(shù){x}的值域為{0，1），故①不對；
∵{x}=x-[x]=

1

2

，∴x=[x]+

1

2

，∴x=1.5，2.5，3.5，…，應(yīng)為無數(shù)多個，故②正確；
∵{x+1}=x+1-[x+1]=x-{x}={x}，故函數(shù){x}是周期為1的周期函數(shù)，故③正確；
函數(shù){x}在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，故④不正確．
故答案為：②③

點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)--定義域、值域、單調(diào)性、周期性．考查對基礎(chǔ)知識的掌握程度和靈活運用．