定義在R上的函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，且對任意實(shí)數(shù)，

有，

求證：；

（2）證明：是R上的增函數(shù)；

（3）若，求的取值范圍。

 

【答案】

（1）a=b=0，得f(0)=1。

（2）任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

利用 得到 f(x2)>f(x1) 。

（3）0<x<3

【解析】

試題分析：（1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1             4

（2）任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

∴  ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函數(shù)

8

（3）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上遞增

∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0<x<3                       12

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)不等式的解法，一元二次不等式的解法，賦值法。

點(diǎn)評：中檔題，本題作為一道“連環(huán)題”，可采用分步得分的原則，首先利用“賦值法”解題。本題主要難點(diǎn)是配湊。抽象函數(shù)不等式的解法，主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成具體不等式求解。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件：
①f(x)=
g(x)
ax
（a＞0，且a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）?g′（x）＞f′（x）?g（x）．
若
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，則a等于（　　）
A、
1
2
B、
5
4
C、2
D、2或
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
|x-1|
，x≠1
1，x=1
，若關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0，有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1+x2+x3=（　�。�
A、0B、1C、3D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：對任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(
x2+y2
)成立，f（1）=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（-1）的值，并判斷y=f（x）的奇偶性；
（2）證明：y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增；
（3）若關(guān)于x的方程2f(x)=f(
a(x-1)
x+1
)在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，且f（x）在區(qū)間（-∞，0]上遞減，且有f（a+1）＞f（2a-1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數(shù)H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）
A、5B、4C、3D、2

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