已知函數(shù)f(x)＝xlnx．

⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，不等式f(x)＞kx－恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

⑶是否存在最小的正常數(shù)m，使得：當(dāng)a＞m時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，不等式f(a＋x)＜f(a)·ex恒成立？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明結(jié)論的合理性．

答案：
解析：

　　(1)令，得x．

　　當(dāng)x∈(0，)時(shí)，；當(dāng)x∈()時(shí)，．

　　所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(3分)

　　(2)由于x＞0，所以．

　　構(gòu)造函數(shù)，則令，得．

　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

　　所以函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，即．

　　因此所求的k的取值范圍是．(7分)

　　(3)結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)存在．　解釋如下：

　　．

　　構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題就是要求恒成立．(9分)

　　對(duì)于求導(dǎo)得．

　　令，則，顯然是減函數(shù)．

　　又，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而，

　　，

　　．

　　所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，令為和，并且有：在區(qū)間和上，即；在區(qū)間上，即．從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．

　　題目要找的，理由是：

　　當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意非零正數(shù)，，而在上單調(diào)遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說(shuō)明；

　　當(dāng)時(shí)，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說(shuō)明不能比�。�

　　綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立．(12分)

　　(注意：對(duì)于和的存在性也可以如下處理：

　　令，即．作出基本函數(shù)和的圖像，借助于它們的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)很容易知道方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根和，且，(實(shí)際上)，可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．)


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；

(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個(gè)解，求t的值；
(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江西省高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽(yáng)縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問(wèn)8分，第二問(wèn)5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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