Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=2，a₃=18．?dāng)?shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，3，…．試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合題意算出數(shù)列{a_n}的公比q=±3．討論可得當(dāng)q=-3時(shí)與題意矛盾，故q=3可得a_n=2×3^n-1．由此得到{b_n}的前4項(xiàng)和等于a₁+a₂+a₃=26，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出公差d=3，得b_n=3n-1；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2和b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8分別組成以3d、2d為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式算出P_n=

9

2

n²-

5

2

n、Q_n=3n²+26n．作差后，因式分解得P_n-Q_n=

3

2

n（n-19），結(jié)合n為正整數(shù)加以討論，即可得到P_n與Q_n的大小關(guān)系，從而使本題得到解決．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，由a₃=a₁q²得q²=

a3

a1

=9，q=±3．
①當(dāng)q=-3時(shí)，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
這與a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
②當(dāng)q=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合題意．
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃=26，
得4b₁+

4×3

2

d=26，結(jié)合b₁=2，解之得d=3，
所以b_n=b_n+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
綜上所述，數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2×3^n-1、b_n=3n-1；
（2）∵b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2組成以3d為公差的等差數(shù)列，
∴P_n=nb₁+

n(n-1)

2

•3d=

9

2

n²-

5

2

n；
同理可得：b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列，且b₁₀=29，
∴Q_n=nb₁₀+

n(n-1)

2

•2d=3n²+26n．
因此，P_n-Q_n=（

9

2

n²-

5

2

n）-（3n²+26n）=

3

2

n（n-19）．
所以對于正整數(shù)n，當(dāng)n≥20時(shí)，P_n＞Q_n；當(dāng)n=19時(shí)，P_n=Q_n；當(dāng)n≤18時(shí)，P_n＜Q_n．

點(diǎn)評：本題給出等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足的關(guān)系式，求它們的通項(xiàng)公式，并比較兩個(gè)和式的大小．著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、利用作差法比較兩個(gè)式子的大小等知識，屬于中檔題．