Question

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求證：OD∥平面VBC；
（2）求證：AC⊥平面VOD；
（3）求棱錐C-ABV的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件利用三角形中位線定理得到OD∥BC，由此能證明OD∥平面VBC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出VO⊥AB，連接OC，推導(dǎo)出△VOA≌△VOC，從而得到VO⊥OC，進(jìn)面得到VO⊥平面ABC，所以AC⊥VO，由此能證明AC⊥VD，從而證明AC⊥平面DOV．
（3）由（2）知VO是棱錐V-ABC的高，由此利用等積法能求出棱錐C-ABV的體積．

解答： （本小題滿分13分）
（1）證明：∵O、D分別是AB和AC的中點(diǎn)，
∴OD∥BC．（1分）
又OD?面VBC，BC?面VBC，
∴OD∥平面VBC．（3分）
（2）證明：∵VA=VB，O為AB中點(diǎn)，∴VO⊥AB．（4分）
連接OC，在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，
∴△VOA≌△VOC，∴∠VOA=∠VOC=90°，∴VO⊥OC．（5分）
∵AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，∴VO⊥平面ABC．（6分）
∵AC?平面ABC，∴AC⊥VO．（7分）
又∵VA=VC，D是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥VD．（8分）
∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD=V，∴AC⊥平面DOV．（9分）
（3）解：由（2）知VO是棱錐V-ABC的高，
且VO=

VA2-AO2

=

3

．（10分）
又∵點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，
∴三角形ABC的面積S△ABC=

1

2

AB•CO=

1

2

×2×1=1，（11分）
∴棱錐V-ABC的體積為：
VV-ABC=

1

3

S△ABC•VO=

1

3

×1×

3

=

3

3

，（12分）
故棱錐C-ABV的體積為

3

3

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．