Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2cos²x+1．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（α）=

8

5

（α∈[0，

π

6

]），求cos2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)已知，化簡(jiǎn)得到f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，然后，結(jié)合x∈[0，

π

2

]，求解其最大值；
（2）根據(jù)f(α)=

8

5

，得到sin(2α-

π

6

)=

4

5

，然后結(jié)合α∈[0，

π

6

]，得到(2α-

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，從而得到cos(2α-

π

6

)=

3

5

，從而得到該值．

解答： 解：根據(jù)已知得f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1=

3

sin2x-2×

1+2cos2x

2

+1
=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
（Ⅰ）因?yàn)?span id="8yxbvh7" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]，
所以(2x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）_max=2．
（Ⅱ）由f(α)=

8

5

，知sin(2α-

π

6

)=

4

5

，
因?yàn)?span id="w7cvahi" class="MathJye">α∈[0，

π

6

]，
所以(2α-

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，
因此cos(2α-

π

6

)=

3

5

，
所以cos2α=cos[(2α-

π

6

)+

π

6

]=cos(2α-

π

6

)cos

π

6

-sin(2α-

π

6

)sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

4

5

×

1

2

=

3 3 -4

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、二倍角公式等知識(shí)，屬于中檔題．