如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，AB=kAA1．
（1）當時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

【答案】分析：以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，
（1）求出對應(yīng)各點的坐標，設(shè)出平面PBC的法向量為，，并求出平面PBC的法向量，再根據(jù)=，即可得到直線PA與平面PBC所成角的大��；
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G為，再根據(jù)，解得k的值即可．
解答：解：以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則得、、B（0，2，0）、C（-2，0，0）
_
（1）當時，由P（0，0，2）、A（2，0，0）得、、
設(shè)平面PBC的法向量為，則由，得，
∴
=，
∴直線PA與平面PBC所成角的大小為．
（2）由（Ⅰ）知△PBC的重心G為，則，
若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，則有，解得
∴當時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．
點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，AB=kAA1．
（1）當k=
2
時，求直線PA與平面PBC所成角的大��；
（2）當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中點，AB=kAA1，其中k為非零實數(shù)，
（1）求證：A1E∥平面PBC；
（2）當k=
2
時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正四棱錐S-ABCD中，AB=8
2
，SA=10，M、N、O分別是SA、SB、BD的中點．
（1）設(shè)P是OC的中點，證明：PN∥平面BMD；
（2）求直線SO與平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC內(nèi)是否存在一點G，使NG⊥平面BMD，若存在，求線段NG的長度；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省溫州市中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中點，AB=kAA1，其中k為非零實數(shù)，
（1）求證：A1E∥平面PBC；
（2）當時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

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