Question

【題目】（本題滿分12分）已知橢圓C： 的離心率為， 是橢圓的兩個焦點， 是橢圓上任意一點，且的周長是．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)圓T： ，過橢圓的上頂點作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點，當(dāng)圓心在軸上移動且時，求EF的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓離心率得到a，c的關(guān)系，再由△PF1F2的周長是8+2得a，c的另一關(guān)系，聯(lián)立求得a，c的值，代入隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）橢圓的上頂點為M（0，1），設(shè)過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，由圓心到切線距離等于半徑得到關(guān)于切線斜率的方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到

，再聯(lián)立一切線方程和橢圓方程，求得E的坐標(biāo)，同理求得F坐標(biāo)，另一兩點求斜率公式得到．然后由函數(shù)單調(diào)性求得EF的斜率的范圍

試題解析：（1）由，即，可知a=4b， ，

∵△PF1F2的周長是，

∴，∴a=4，b=1，所求橢圓方程為；

（2）橢圓的上頂點為M（0，1），設(shè)過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，

由直線y=kx+1與T相切可知，

即（9t2﹣4）k2+18tk+5=0，

∴，

由，得．

∴， 同理，

則．

當(dāng)1＜t＜3時， 為增函數(shù)，故EF的斜率的范圍為．