Question

已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A（-1，-4），∠B、∠C的內(nèi)角平分線所在直線的方程分別為l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0．
（Ⅰ）求BC邊上的高所在直線的方程；
（Ⅱ）求△ABC的內(nèi)切圓方程．

Answer 1

分析：（I）利用軸對稱的知識建立關(guān)系式，解出點(diǎn)A關(guān)于直線l₁、l₂對稱點(diǎn)A'、A″的坐標(biāo)，再由直線方程的兩點(diǎn)式列式，化簡得到A'A″的方程x+2y-3=0，即為邊BC所在直線的方程．再求出與BC垂直的直線的斜率，利用點(diǎn)斜式列式并化簡，可得BC邊上的高所在的直線的方程；
（II）根據(jù)題意，聯(lián)解l₁、l₂的方程得到l₁、l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為△ABC的內(nèi)切圓的圓心．再由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到BC邊的距離，即為內(nèi)切圓半徑r，由此即可得到△ABC的內(nèi)切圓方程．

解答：解：（I）設(shè)點(diǎn)A（-1，-4）關(guān)于直線y+1=0的對稱點(diǎn)為A'（x₁，y₁），
可得x₁=-1，

1

2

（-4+y₁）=-1，解得y₁=2×（-1）-（-4）=2，
∴A'坐標(biāo)為（-1，2），
再設(shè)點(diǎn)A（-1，-4）關(guān)于l₂：x+y+1=0的對稱點(diǎn)為A″（x₂，y₂），
可得

y2+4 x2+1 •(-1)=-1 x2-1 2 + y2-4 2 +1=0

，
解之得x₂=3，y₂=0，
∴A″坐標(biāo)（3，0），
∵∠B、∠C的內(nèi)角平分線所在直線的方程分別為l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0，
∴點(diǎn)A'與點(diǎn)A″都在直線BC上，
根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式，得直線A'A″的方程為

y-2

0-2

=

x+1

3+1

，
化簡得x+2y-3=0，即為邊BC所在直線的方程，
∵直線BC的斜率k=-

1

2

，
∴BC邊上的高所在的直線的斜率為k'=

-1

k

=2，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），
∴BC邊上的高所在的直線的方程為y+4=2（x+1），
化簡得2x-y-2=0；
（ II）根據(jù)題意，可得△ABC的內(nèi)角平分線l₁與l₂的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，
聯(lián)解

y+1=0 x+y+1=0

，得

x=0 y=-1

，可得內(nèi)切圓的圓心為（0，-1），
又∵圓心到直線BC的距離為半徑，
∴內(nèi)切圓的半徑r=

|-2-3|

5

=

5

，
因此，△ABC的內(nèi)切圓方程為x²+（y+1）²=5．

點(diǎn)評：本題給出三角形滿足的條件，求直線BC的方程與BC邊上高所在直線方程，并求三角形的內(nèi)切圓方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．