Question

已知函數(shù)的反函數(shù)為y=f^-1（x）
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的解析式；
（2）若y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=x有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）判斷方程f（x）=f^-1（x）的實(shí)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把原函數(shù)兩邊平方后解出x，然后把x和y互換，注意反函數(shù)的定義域；
（2）作出函數(shù)y=f（x）的圖象，然后數(shù)形結(jié)合分析可得答案；
（3）作出函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f^-1（x）的圖象，由圖可以直觀(guān)看出方程f（x）=f^-1（x）的實(shí)根的個(gè)數(shù)．
解答：解：（1）由，得：（y≥0），所以原函數(shù)的反函數(shù)為；
（2）由，得：，
其圖象是把函數(shù)y²=-3x（y≥0）的圖象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|個(gè)單位得到的，如圖，

要使y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=x有交點(diǎn)，則a≥0；
（3）因?yàn)榛�為反函�?shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，如圖，

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以方程f（x）=f^-1（x）無(wú)實(shí)根；當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程f（x）=f^-1（x）有一個(gè)實(shí)根．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，此題為中檔題．