Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足…，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得 a_n+1+1=2（a_n+1），數(shù)列{a_n+1}是以2為公比、以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，求得a_n+1=2ⁿ，從而求得{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題意可得 =（2ⁿ）ⁿ=，即 2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，由此求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（1）證明：∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
又 a₁=1，a₁+1≠0，∴=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為公比、以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n =2ⁿ-1．
（2）∵…，
]∴=（2ⁿ）ⁿ=，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，
∴b₁+b₂+…+b_n=．
點(diǎn)評：本題主要考查等比關(guān)系的確定，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．