Question

已知函數(shù)f （x）=x （1+x）²．
（1）求實數(shù)a，b的值，使函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]；
（2）設函數(shù)g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，可得a，b即為方程f （x）=x的解，解方程f （x）=x可得實數(shù)a，b的值；
（2）由函數(shù)g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，可得kx≤f（x）+2在區(qū)間[1，2]上恒成立，即k≤[f（x）+2]÷x在區(qū)間[1，2]上恒成立，構造函數(shù)h（x）=[f （x）+2]÷x，求出其在區(qū)間[1，2]上的最小值后可得k的取值范圍．

解答：解（1）由題意知，f（a）=a且f（b）=b，
a，b即為方程f（x）=x的解，
即    x（1+x）²=x，
解得x₁=0，x₂=-2．
當-2≤x≤0時，檢驗知符合題意．
∴a=-2，b=0．
（2）g（x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立
kx≤f（x）+2在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴k≤x2+2x+1+

2

x

在區(qū)間[1，2]上恒成立
令h（x）=x2+2x+1+

2

x

  
則h′（x）=2x+2-

2

x2

=

2x3+2x2-2

x2

＞0恒成立
即h（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)
故當x=1時，h（x）取最小值6
∴k的取值范圍是k≤6

點評：本題考查的知識點是導數(shù)在最大值，最小值問題中的應用，根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中熟練掌握利用導數(shù)法處理函數(shù)恒成立問題的方法和步驟是解答本題的關鍵．