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已知對任意的x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f(
x+y
2
)•f(
x-y
2
),f(0)≠0,則f(x)為( 。
A、是奇函數
B、是偶函數
C、既是奇函數又是偶函數
D、無法確定f(x)奇偶性
考點:抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷
專題:函數的性質及應用
分析:根據已知中對任意的x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f(
x+y
2
)•f(
x-y
2
),f(0)≠0,令x=y=0,可得f(0)=1,令y=-x,可得f(-x)=f(x),進而可得函數為偶函數.
解答: 解:∵對任意的x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f(
x+y
2
)•f(
x-y
2
),f(0)≠0,
令x=y=0,則f(0)+f(0)=2f(0)•f(0),
∴f(0)=1,
令y=-x,
∴f(x)+f(-x)=2f(0)•f(x)=2f(x),
即f(-x)=f(x),
故函數為偶函數,
故選:B
點評:本題考查抽象函數及其應用,著重考查賦值法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

舉世矚目的巴西足球世界杯將于2014年6月在巴西舉行,這是四年一度的足球盛宴,是全世界足球迷的節(jié)日.在每場比賽之前,世界杯組委會都會指派裁判員進行執(zhí)法.在某場比賽前,有10名裁判可供選擇,其中歐洲裁判3人,亞洲裁判4人,美洲裁判3人.若組委會要從這10名裁判中任選3人執(zhí)法本次比賽.求:
(1)選出的歐洲裁判人數多于亞洲裁判人數的概率;
(2)選出的3人中,歐洲裁判人數X的分布列和數學期望.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點為F,過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為H,交雙曲線C于點M,|FM|=|HM|,則雙曲線C的離心率為( 。
A、2
B、
3
C、
6
2
D、
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列命題:
①三角形ABC中,若a2+b2-c2-ab=0,則C=60°;
②ax(x-1)<0(a≠0)的解集是(0,1);
③Sn是數列{an}的前n項和,若Sn=n2+1,則an=2n-1;
④Sn是數列{an}的前n項和,若Sn=2n-1,則數列{an}是等比數列.
其中正確命題的序號是:
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

若a>0,求極限:
lim
n→∞
1-2an
1+an

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a≥1,f(x)=x3+3|x-a|,若函數f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M、m,則M-m的值為   C( 。
A、8
B、-a3-3a+4
C、4
D、-a3+3a+2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
|lgx|,0<x≤10
-
1
2
x+6,x>10
若a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),則3ab+
c
a2b2
的取值范圍是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,設M是底面ABC內一點,定義f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積,若f(M)=(
1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實數a的最小值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點P是函數f(x)=sin(ωx+
π
6
)的圖象C的一個對稱中心,若點P到圖象C的對稱軸距離的最小值為
π
4
,則f(x)的最小正周期是(  )
A、2π
B、π
C、
π
2
D、
π
4

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