(1)山水城市鎮(zhèn)江有“三山”--金山、焦山、北固山,一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5,且該游客是否游覽這三個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立,用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)某城市有n(n為奇數(shù),n≥3)個(gè)景點(diǎn),一位游客游覽每個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5,且該游客是否游覽這n個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立,用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解:(1)游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)為0,1,2,3,ξ可能取值為:1,3,
P(ξ=1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9197.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1773.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/116729.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422744.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3772.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2179.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,
P(ξ=3)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22454.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22454.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22454.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
ξ的分布列為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d6038ed6116.png)
所以Eξ=1×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
+3×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
.
(2)當(dāng)n=2k+1,k∈N
*時(shí),游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為:0,1,2,…,2k+1,
ξ可能取值為:1,3,5,…,2k+1.
P(ξ=1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422745.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422746.png)
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
;
P(ξ=3)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422749.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422750.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422751.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422752.png)
;
…
P(ξ=2k+1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422753.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422754.png)
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
,
∴ξ的分布列為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d6038f0794b.png)
∴Eξ=(2k+1-0)×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+[(2k+1-1)-1]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
+[(2k+1-2)-2]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422757.png)
+…+[2k+1-k)-k]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
{[(2k+1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+2k
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
+(2k-1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422758.png)
+…+(2k+1-k)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
]-[(0×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422759.png)
+2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422758.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422760.png)
]}
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
{[(2k+1)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422761.png)
+2k×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422762.png)
+(2k-1)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422763.png)
+…+(k+1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422764.png)
]-[0×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+1×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422760.png)
]},
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422765.png)
=n
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422766.png)
(i=1,2,3,…,n),
Eξ=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
{(2k+1)×[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422767.png)
]-(2k+1)×[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422768.png)
]}
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
×(2k+1)×[(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422767.png)
)-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422769.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422770.png)
)]
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
×(2k+1)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422771.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422772.png)
.
答:ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422772.png)
.
分析:(1)游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)為0,1,2,3,ξ可能取值為:1,3,ξ=1表示游覽一個(gè)景點(diǎn)或游覽兩個(gè)景點(diǎn),ξ=3表示游覽景點(diǎn)數(shù)為0或游覽了三個(gè)景點(diǎn),根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生k的概率公式即可求得P(ξ=1),P(ξ=3),進(jìn)而得到分布列和期望;
(2)當(dāng)n=2k+1,k∈N
*時(shí),游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為:0,1,2,…,2k+1,則ξ可能取值為:1,3,5,…,2k+1.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求出ξ取各值是的概率,表示出Eξ=(2k+1-0)×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+[(2k+1-1)-1]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
+[(2k+1-2)-2]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422757.png)
+…+[2k+1-k)-k]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
,分組后利用性質(zhì)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422765.png)
=n
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422766.png)
(i=1,2,3,…,n)對(duì)上式即可進(jìn)行化簡(jiǎn),最后再換為n即可;
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望,考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k的概率計(jì)算公式,考查組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力,本題綜合性強(qiáng),能力要求高,屬難題.
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:2013年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)、徐州、連云港六市高考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版)
題型:解答題
(1)山水城市鎮(zhèn)江有“三山”--金山、焦山、北固山,一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5,且該游客是否游覽這三個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立,用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)某城市有n(n為奇數(shù),n≥3)個(gè)景點(diǎn),一位游客游覽每個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5,且該游客是否游覽這n個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立,用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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