Question

【題目】已知橢圓C： ，點(diǎn)P，過右焦點(diǎn)F作與y軸不垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn).

（Ⅰ ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ ）求證：以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ ）由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程知，可計(jì)算出，得離心率；

（Ⅱ ）只要證明關(guān)于軸對稱，即，為此，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程： ， ， ，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去后得的一元二次方程，從而可得，然后計(jì)算可得，同時(shí)驗(yàn)證一下斜率不存在時(shí)，也滿足．

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓C： 得：

， ，

所以， 橢圓C的離心率為

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)F（1,0），

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程： ，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，

點(diǎn)P（4,0）在x軸上，所以直線PA與直線PB關(guān)于x軸對稱，

所以， 點(diǎn)O到直線PA與直線的距離PB相等，

所以，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程： ， ，

由得：

，

，

所以， ，于是點(diǎn)O到直線PA與直線的距離PB相等，

故以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切

（也可以用點(diǎn)O到直線PA與直線的距離PB的距離相等來證明）