Question

三棱錐,底面為邊長為的正三角形，平面平面，,為上一點(diǎn)，，為底面三角形中心.

（Ⅰ）求證∥面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先證∥ （Ⅱ）先證平面 （Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).

為正三角形的中心，∴,

且為中點(diǎn).又， ∴∥,                  

平面，平面

∴∥面．              

（Ⅱ）,且為中點(diǎn), ∴,

又平面平面，

∴平面,            

由（Ⅰ）知，∥，

∴平面,∴                  

連結(jié),則,又,

∴平面,∴．

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，兩兩互相垂直，且為中點(diǎn)，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

，則

∴

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則．                              

由（Ⅱ）知平面,∴為平面的法向量，

∴，

由圖可知，二面角的余弦值為 ． 

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；二面角的平面角及求法．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面的平行的判斷，在與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力，以及邏輯推理能力．