Question

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，面，且，,分別是的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)過作一平面交棱于點(diǎn)，若二面角的大小為，求的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）問題需要證明的是線面平行，可以考慮通過證明線線平行來證明面面平行，而題中出現(xiàn)了中點(diǎn)，因此可以考慮通過構(gòu)造三角形中位線來產(chǎn)生平行線：取的中點(diǎn),連結(jié)、,
易證四邊形是平行四邊形，從而∥,而平面,平面；（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，可以利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)來構(gòu)造二面角的平面角，從而利用已知條件中二面角的大小為構(gòu)造含的三角形，進(jìn)而可以求得線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系：連結(jié)交于，連結(jié)，易證就是二面角的平面角，，
不妨設(shè),可求得，從而.
試題解析：（1）如圖，取的中點(diǎn),連結(jié)、,
∵是的中點(diǎn)，∴∥,且，又是菱形邊的中點(diǎn)，∴∥,且， ∴∥,且，四邊形是平行四邊形，∴∥,       5分
而平面,平面，                        6分
∴∥平面.                                                  7分
連結(jié)交于，連結(jié)，∵面，∴，
即，又，且,∴平面，        10分
從而,,∴就是二面角的平面角，，    12分
不妨設(shè),∵，，∴,,,
,∴,在中,，         14分
∴；                                              15分