Question

16．一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中M，N，P分別是AB，SC，SD的中點．
（1）求證：AP∥平面SMC；
（2）求三棱錐BNMC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接PN，證明四邊形AMNP為平行四邊形，推出AP∥MN．即可證明AP∥平面SMC．
（2）由三視圖可知頂點S到底面ABCD的距離為2，點N到底面ABCD的距離為h=1，利用等體積通過V_BNMC=V_NMBC=$\frac{1}{3}$S_△MBC•h求解即可．

解答 解：（1）由三視圖可知底面ABCD為正方形，連接PN，
∵P，N分別是SD，SC的中點，
∴PN∥DC且PN=$\frac{1}{2}$DC．
∵底面ABCD為正方形，M為AB的中點，
∴AM∥DC且AM=$\frac{1}{2}$DC，
∴AM∥PN且AM=PN，
∴四邊形AMNP為平行四邊形，∴AP∥MN．
又AP?平面SMC，MN?平面SMC，∴AP∥平面SMC．
（2）由三視圖可知頂點S到底面ABCD的距離為2，
∴點N到底面ABCD的距離為h=1，
根據(jù)三棱錐的體積公式可以求得：
V_BNMC=V_NMBC=$\frac{1}{3}$S_△MBC•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計算能力．