Question

設函數f（x）滿足f（2^x）=x²-2ax+a²-1，且f（x）在[2^a-1，2 a2-2a+2]上的值域為[-1，0]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意，利用換元法將f（x）在區(qū)間[2a-1，2a2-2a+2]上的值域為[-1，0]等價于g（x）=x²-2ax+a²-1在區(qū)間[a-1，a²-2a+2]上的值域為[-1，0]；從而求解．

解答： 解：記g（x）=f（2^x），
則f(x)=g(log2x)=(log2x)2-2alog2x+a2-1，
∴f（x）在區(qū)間[2a-1，2a2-2a+2]上的值域為[-1，0]等價于g（x）=x²-2ax+a²-1在區(qū)間[a-1，a²-2a+2]上的值域為[-1，0]．
∵g（a）=-1∈[-1，0]，
∴a∈[a-1，a²-2a+2]，
且g（x）在區(qū)間[a-1，a²-2a+2]上的最大值應在區(qū)間端點處達到．
又g（a-1）=0恰為g（x）在該區(qū)間上的最大值，故a必在區(qū)間右半部分，
即：

(a-1)+(a2-2a+2)

2

≤a≤a2-2a+2，
解得：

3- 5

2

≤a≤1或2≤a≤

3+ 5

2

．

點評：本題考查了函數的值域的求法與應用，屬于基礎題．