設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列,cn=an+bn,證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.

證法一:否定一個結(jié)論舉一特例即可,即只需說明≠,即c22≠c1·c3.

設(shè)an=a1pn－1,bn=b1qn－1,且p≠q,則c22=(a1p+b1q)2=a12p2+2a1b1pq+b12q2,

c1·c2=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+a1b1q2+a1b1p2+b12q2,

c22－c1·c3=a1b1(2pq－p2－q2)=－a1b1(p－q)2.

∵a1≠0,b1≠0,p≠q,∴c22－c1c2≠0,

故{cn}不是等比數(shù)列.

證法二:反證法.

假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,則存在常數(shù)k(不等于零),使得=k(n∈N*),

即cn+1=kcn.

設(shè)an=a1pn－1,bn=b1qn－1且p≠q,

代入上式中整理得a1pn+b1qn=·pn+·qn.

∵上式對任意n∈N*成立,

∴必須考慮到a1≠0,b1≠0,

解得p=q=k.這與已知公比p≠q矛盾,故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}，{bn}是兩個數(shù)列，M（1，2），An(2，an)，Bn(
n-1
n
，
2
n
)為直角坐標(biāo)平面上的點．對n∈N*，若三點M，An，B共線，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足：log2cn=
a1b1+a2b2+…+anbn
a1+a2+…+an
，其中{cn}是第三項為8，公比為4的等比數(shù)列．求證：點列P1（1，b1），P2（2，b2），…Pn（n，bn）在同一條直線上；
（3）記數(shù)列{an}、{bn}的前m項和分別為Am和Bm，對任意自然數(shù)n，是否總存在與n相關(guān)的自然數(shù)m，使得anBm=bnAm？若存在，求出m與n的關(guān)系，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}，{bn}均為正項等比數(shù)列，將它們的前n項之積分別記為An，Bn，若
An
Bn
=2n2-n，則
a5
b5
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數(shù)列{bn}，設(shè)An、Bn分別是數(shù)列{an}和{bn}的前n項和．
（1）a10是數(shù)列{bn}的第幾項；
（2）是否存在正整數(shù)m，使Bm=2010？若不存在，請說明理由；否則，求出m的值；
（3）設(shè)am是數(shù)列{bn}的第f（m）項，試比較：Bf（m）與2Am的大小，請詳細論證你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，則a39+b39（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（任選一題）
（1）已知α、β為實數(shù)，給出下列三個論斷：
①|(zhì)α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5  ③|α|＞2
2
，|β|＞2
2

以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的命題是
①③⇒②
①③⇒②
．
（2）設(shè){an}和{bn}都是公差不為零的等差數(shù)列，且
lim
n→∞
an
bn
=2，則
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值為
1
8
1
8
．

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