已知定義在的函數(shù),對(duì)任意的、，都有，且當(dāng)時(shí)，.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；

（3）如果對(duì)任意的、，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（1）先證明，進(jìn)而證明當(dāng)時(shí)，；

（2）嚴(yán)格按照單調(diào)函數(shù)的定義證明即可；

（3）

【解析】

試題分析：(1)證明:取,

又,即,

所以當(dāng)時(shí)，；.

(2)在上是減函數(shù),證明如下:

設(shè),

在上是減函數(shù).

(3) ，

而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

考點(diǎn)：本小題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì).

點(diǎn)評(píng)：解決抽象函數(shù)問(wèn)題的主要方法是“賦值法”，而且抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明知能用定義，利

用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”三個(gè)條件缺一不可.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（14分）已知定義在的函數(shù)同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的，總有；②；③當(dāng)時(shí)，總有成立．

    （1）函數(shù)在區(qū)間上是否同時(shí)適合①②③？并說(shuō)明理由；

    （2）假設(shè)存在，使得且，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分14分）已知定義在的函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：不是奇函數(shù)；（Ⅱ）設(shè)是奇函數(shù)，求與的值；

（Ⅲ）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)、c都有成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年廣東省高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知定義在的函數(shù)同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的，總有；②；③當(dāng)時(shí)，總有成立．

   （1）函數(shù)在區(qū)間上是否同時(shí)適合①②③？并說(shuō)明理由；

   （2）設(shè)，且，試比較與的大��；

   （3）假設(shè)存在，使得且，求證：．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分14分）

已知定義在的函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：不是奇函數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)是奇函數(shù)，求與的值；

（Ⅲ）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)、c都有成立．

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