Question

如圖1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，設(shè)，將△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小為，連接A₁B、A₁P（如圖2）．
（1）求證：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）當(dāng)EF⊥平面A₁EB時，求平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）解：若EF⊥平面A₁EB，則EF⊥AE，∠AEF=90°
∵∠EAF=60°，∴
∴，∴x=1
（3）解：∵二面角A₁-EF-B的大小為，且EF⊥平面A₁EB，
∴EF⊥BE，A₁E⊥EF，平面A₁EF∩平面BEF=EF
∴A₁E⊥平面BEF
∵BE?平面BEF
∴A₁E⊥BE
∴EF，BE，A₁E兩兩互相垂直
以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知得，BE=1，A₁E=2，PF=FC=PC=1，EF=2
∴E（0，0，0），A₁（0，0，2），B（3，0，0），P（1，2，0），F(xiàn)（0，2，0）
∴
∴是平面A₁EF的一個法向量
設(shè)平面A₁BP的法向量為，則，∴，∴=（）
∴平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值為=
分析：（1）證明PF∥平面A₁EB，利用線面平行的判定定理，證明PF∥BE即可；
（2）若EF⊥平面A₁EB，則EF⊥AE，∠AEF=90°，從而可得，故可求x的值；
（3）證明EF，BE，A₁E兩兩互相垂直，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，確定是平面A₁EF的一個法向量，平面A₁BP的法向量=（），利用向量的數(shù)量積即可求平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值．
點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，對于圖形的翻折問題，關(guān)健是利用翻折前后的不變量，二面角的平面角的適當(dāng)選取是立體幾何的核心考點(diǎn)之一．是高考數(shù)學(xué)必考的知識點(diǎn)之一