Question

如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船．
（Ⅰ）求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離；
（Ⅱ）設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向與

CA

成θ角，求f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BC，依題意可知AC，AB的值和∠CAB，進(jìn)而由余弦定理求得BC．
（Ⅱ）先根據(jù)正弦定理求得sinθ，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得cosθ，進(jìn)而利用兩角和公式化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）連接BC，由余弦定理得BC²=20²+10²-2×20×10COS120°=700．
∴BC=10

7

．
（Ⅱ）∵

sinθ

20

=

sin120°

10 7

，
∴sinθ=

3 7

∵θ是銳角，
∴cosθ=

4 7

，
f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx=

3

7

sinx+

4

7

cosx=

5

7

sin(x+?)
∴f（x）的值域?yàn)?span id="pt97xhh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

5

7

， 

5

7

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形中的實(shí)際運(yùn)用．考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．