Question

（2013•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的一個(gè)零點(diǎn)是

3π

4

．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=[f（x）]²-2sin²x，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)解析式，得f（

3π

4

）=sin

3π

4

+acos

3π

4

=0，將sin

3π

4

=

2

2

、cos

3π

4

=-

2

2

代入，即可解出a的值；
（II）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx，由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)整理得g（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，解關(guān)于x的不等式即可得到求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+acosx，且f(

3π

4

)=0，
∴sin

3π

4

+acos

3π

4

=0，
即

2

2

-

2 a

2

=0，解之得a=1．                                               
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx．
∴g（x）=[f（x）]²-2sin²x
=（sinx+cosx）²-2sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，求實(shí)數(shù)a的值并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了三角恒等變換、不等式的解法和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．