Question

已知函數(shù)的定義域是，是的導(dǎo)函數(shù)，且在

內(nèi)恒成立．

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

若，求的取值范圍；

(3)  設(shè)是的零點，，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用求導(dǎo)的思路求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從分借助；（2）首先對求導(dǎo)，然后借助已知的不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，進而采用構(gòu)造函數(shù)的技巧，，通過求導(dǎo)研究其最大值，從而得到的取值范圍；（3）借助第一問結(jié)論，得到，然后通過變形和構(gòu)造的思路去證明不等式成立.

試題解析：（1），∵在內(nèi)恒成立

∴在內(nèi)恒成立，

∴的單調(diào)區(qū)間為                                      4分

（2），∵在內(nèi)恒成立

∴在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，

設(shè)，

，，，，

故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

∴，∴                     8分

（3）∵是的零點，∴由（1），在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時，，即，

∴時，∵，∴，

且即

∴，

∴                                                   14分

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；（2）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；（3）不等式的證明.