Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，且有側面PDC⊥底面ABCD，側棱PB與底面ABCD所成角的正切值為

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7

，∠ADC為銳角，M為側棱PB的中點．
（I）求證：PA⊥CD；
（II）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過P作PE⊥CD于E連接AE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠PBE為側棱PB與底面ABCD所成的角，求出PE與BE，在△BCE中，求出∠BCE，從而得到△ADC是邊長為2的等邊三角形，則AE⊥CD，根據(jù)三垂線定理可知PA⊥CD；
（II）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，在三角形APE中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）過P作PE⊥CD于E連接AE
∵側面PDC⊥底面ABCD，PE?側面PDC
CA⊥BD，PM⊥EN
∴PE⊥底面ABCD
∴AE是PA在底面ABCD上的射影
連接BE，
則∠PBE為側棱PB與底面ABCD所成的角
∵側面PDC是邊長為2的正三角形
∴PE=

3

∴BE=

7

在△BCE中，BC=2，CE=1，BE=

7

∴cos∠BCE=

BC2+CE2-BE2

2•BC•CE

=-

1

2

∴∠BCE=

2π

3

∴∠ADC=

π

3

故△ADC是邊長為2的等邊三角形∵E為DC的中點，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角
∵△ADC和△PDC都是邊長為2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小為45°

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及平面與平面垂直的性質和二面角及其度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．