雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足如下條件：（1）ab=
3
；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l的斜率為
21
2
，交y軸于點(diǎn)P，線段PF交雙曲線于點(diǎn)Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求雙曲線的方程．
分析：首先設(shè)直線l：y=
21
2
（x-c），并求出P點(diǎn)坐標(biāo)；然后根據(jù)|PQ|：|QF|=2：1，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，并代入雙曲線方程，再由a2+b2=c2，求出a2、b2即可．
解答：解：設(shè)直線l：y=
21
2
（x-c），令x=0，得P（0，-
21
2
c），
設(shè)λ=
|PQ|
|QF|
=2，Q（x，y），則有
x=
2c
1+2
=
2
3
c
y=
-
21
2
c
1+2
=-
21
6
c
，
又Q（
2
3
c，-
21
6
c）在雙曲線上，
∴b2（
2
3
c）2-a2（-
21
6
c）2=a2b2，
∵a2+b2=c2，∴
4
9
(1+
b2
a2
)-
7
12
(
a2
b2
+1)=1，
解得
b2
a2
=3，又由ab=
3
，可得
a2=1
b2=3
，
∴所求雙曲線方程為x2-
y2
3
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，根據(jù)|PQ|：|QF|=2：1，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意運(yùn)算技巧，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　　）
A、[3-2
3
，+∞)
B、[3+2
3
，+∞)
C、[-
7
4
，+∞)
D、[
7
4
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，則a等于
 
，該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)圓C的圓心為雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的左焦點(diǎn)，且與此雙曲線的漸近線相切，若圓C被直線l：x-y+2=0截得的弦長(zhǎng)等于
2
，則a等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，并且P點(diǎn)與右焦點(diǎn)F′的連線垂直x軸，則線段OP的長(zhǎng)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-
3
，0)，則其漸近線方程為（　�。�
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

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